整数集包括什么哪些数字,整数集是哪些数字

中学生课外读物《数的产生与发展》(有理数加减乘除)

1.正分数概念及加减法

两人上山打了一头野猪,回去怎么分?

将一猪分成两半,一人一半,即一个得到1/2个猪。记为:1÷2=1/2。若某人拿了两个一半,则他得了1/2+1/2=2×(1/2)=2/2=1个猪。

同样:一块长方形纸片,三个人去分,折成三等份,每人一份是1/3长方形纸片,记为:1÷3=1/3。若某人拿了其中2份,则他得了这张纸片的1/3+1/3=2×(1/3)=2/3。若某人拿了其中2份,则他得了这张纸片的1/3+1/3+1/3=3×(1/3)=3/3=1,即他得到了整张纸片。

一块圆饼,分成四等份时,若一个拿一份,一人得1/4个饼。若一人拿2份,则他得了2/4个饼,即半个饼,∴2/4=1/2。若一人拿3份,则他得1/4+1/4+1/4=3x(1/4)=3/4个饼。若一人拿4份,则他得1/4+1/4+1/4+1/4=4x(1/4)=4/4=1个饼。

两个相同的圆饼各分成4等份,若一个人拿7份,则他得到了7/4=1+3/4=1(3/4)个饼。

一般地,将多个相同整体,每个分成n等份,某人拿了其中一份,我们称为他得了这个整体的1/n,若某人拿了其中m份,则他得了1/n+1/n+…+1/n=m个1/n相加=m×(1/n)=m/n。

一般地:若m∈N+,n∈N+,n≥2,称m/n为分数,m叫分子,n叫分母。/叫分数线。

由上知:n∈N+,n≥2时,n/n=1,(2n)/n=2,(3n)/n=3,(4n)/n=4,(5n)/n=5,…,(mn)/n=m,…。

可见,正整数可以表示成分数形式。如2=4/2=10/5=14/7。但不称它为分数。

显然一个整数n可以写成分母为1的分数形式,即n=n/1。

由得到的多少来定大小可知:

1/2<2/2=1<3/2<4/2=2<5/2<6÷2=3<7/2<…,

1/3<2/3<3/3=1<4/3<5/3<6/3=2<7/3<8/3<9/3=3<10/3<…,

1/2>1/3>1/4>1/5>1/6>1/7>1/8>…>1/99>1/100>1/101>…,

显然所有的正分数都大于0。

1/2=2/4=3/6=4/8=5/10=6/12=7/14=8/16=…=n/(2n),

1/3=2/6=3/9=4/12=5/15=6/18=7/21=8/24=…=n/(3n),

1/4=2/8=3/12=4/16=5/20=6/24=7/28=8/32=…=n/(4n),

1/5=2/10=3/15=4/20=5/25=6/30=7/35=8/40=…=n/(5n),

一般地,m∈N+,n∈N+,n≥2,则1/n=m/(mn)。

如:1/2=3/6,1/3=2/6,

1/2=6/12,1/3=4/12,1/4=3/12,1/6=6/12,

5/4=1+1/4=1+5/20=20/20+5/20=25/20,3/5=4/20,1/10=2/20,

一般地,不同分母的正分数,可以由此化为同分母的分数,然后由实际意义可作正分数加减法。如:1/2+1/3+1/4=6/12+4/12+3/12=13/12,

3/5+1/4+2/7=84/140+35/140+40/140=(84+35+40)/140=159/140=1+19/140=1(19/140)。

7/10-5/35=49/70-10/70=(49-10)/70=39/70。

反过来:k∈N+,m∈N+,n∈N+,m≥2,n≥2,则km/(nm)=k/n。

这个过程我们叫做约分。约分将要求出分子分母的最大公约数,然后将分子分母的最大公约数约去,得到的分数就不可能再约分了,这样的分数叫最简分数。

即:若一个正分数的分子与分母没有大于1的约数,则称分子,分母这两个正整数互质,这个分数为最简分数,一般地任一个正分数应写成最简分数,这样我们看到的某个分数就是唯一的,也是统一的。

若一个正分数的分子与分母有大于1的约数,则可将这个约数约去,得到的分数值不变。

由前可见不同分母的加减法,应先将分母变成相同的,即先变成同分母加减。而同分母加减,只需将分子加减,分母不变。

将异分母分数化为同分母分数的过程,称为通分。通分常将各分数变成以各分母的最小公倍数为分母的分数为简便。通分是作分数加减法必不可少的步骤。

为使通分简便,常须求分母的最小公倍数,而一个分数约成最简分数,则需约去分子分母的最大公约数。

几个正整数的最大公约数及最小公倍数可如下求:

①将各数写成大于1的质数之积,

②找出所有公有的质因数,它们相乘得到最大公约数,

③找出所有不同的质因数,它们相乘得到最小公倍数。

如:求24,30的最小公倍数和最大公约数。

解:∵24=2×2×2×3,

30=2×3×5,

∴最小公倍数为2×2×2×3×5=120,最大公约数为2×3=6。

可见有如下约分和通分:

24/30=4/5,

5/24+7/30

=25/120+28/120

=53/120,

7/30-5/24

=28/120-25/120

=3/120=1/40。

一般地,若两个正分数相减,其差为一个正分数,即大于0,则称被减数大于减数。

如∵7/30-5/24

=28/120-25/120

=3/120=1/40>0,

∴7/30>5/24。

又如:5/3-37/33

=(165-111)/99

=54/99>0,

∴5/3>37/33。

可见自然数与正分数合在一起后,其中两数差大于0,则被减数大于减数。

正分数中有的小于1,有的大于1。我们将小于1后正分数叫真分数,将大于1的分数叫假分数。

每个假分数可以化为一个正整数加上一个真分数的形式。将这个形式中的加号去掉,将整数写在前面,紧接着写上后面的真分数,变成一个数,我们称为代分数。

如:5/3=1+2/3=1(2/3)。

37/33=1+4/33=1(4/33)。

有了代分数后,正分数的加减法就可先将分数化成代分数,然后整数部分相加减,加上分数部分相加减。

如:5/3+37/33

=1(2/3)+1(4/33)

=(1+1)+(2/3+4/33)

=2+(66+12)/99

=2(78/99)。

5/3-37/33

=1(2/3)-1(4/33)

=(1-1)+(2/3-4/33)

=0+(66-12)/99

=54/99。

可见这样可以简化运算,免得计算中有些数过大。

可以证明自然数加上正分数后,加法是封闭的,且满足交换律,结合律。

2.正分数的乘法

显然:m∈N+,n∈N,+k∈N+,n≥2时,

1/n+1/n+…+1/n=m个1/n之和=m/n。

k/n+k/n+…+k/n=m个k/n之和=(mk)/n。

即正整数乘以一个正分数,分母不变,只需将分子相乘。

∵将1的两个1/2均分成三等份,相当于将1六等份,

∴一份为1的1/6=1/(2×3)=(1/2)×(1/3)份。

同样的,先将1分成n等份,得到n个1/n,然后再将每个1/n份m等份,共得到mn个1/(mn),其中k份就是1的k/(mn)倍。∴(1/n)×(1/m)=1/(mn),(1/n)×(k/m)=k/(mn)。

一般地:

m,n,k,l∈N+时,有:

(m/n)×(l/k)=(ml)/(nk)。

即两个正分数相乘,份得到一个正分数,把分子相乘作为分子,把分母相乘作为分母。

如:(5/22)×(11/10)

=(5×11)/(22×10)

=5/(2×10)

=1/(2×2)

=1/4。

可以证明自然数加上正分数后,乘法是封闭的,且满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律。

3.正分数的除法

∵(2/3)×(3/2)

=6/6=1,

(12/17)×(17/12)

=(12×17)/(17×12)

=1,

一般地(n/m)×(m/n)

=(mn)/(mn)=1。

∴一个正分数的分子分母互换后得到的分数与这个分数本身相乘,得到积为1。

我们称这样的两个正分数互为倒数。

因定义除法为乘法的逆运算,所以由(n/m)×(ml/nk)=(mnI)/(mnk)=l/k得:

(l/k)÷(n/m)=(ml)/(nk)=(丨/k)×(m/n)

即有:两个正分数相除,即把被除分数乘以除数的倒数。

如:(3/8)÷(2/3)

=(3/8)×(3/2)

=9/16。

4÷(2/3)÷(6/7)

=(4/1)×(3/2)×(7/6)

=(4×3×7)/(1×2×6)

=(12×7)/12

=7。

可以证明:自然数加上正分数后,除法(除数不为0)是封闭的。即:任一个自然数或正分数除以一个非零自然数或正分数,其商仍为一个自然数或正分数。

这是自然数中或整数中所没有的性质。因不管是自然数中,还是整数中,除法是不封闭的。

但是,自然数加上正分数后,减法是不封闭的,所以我们还要将数扩充,让数的性质更趋完备,完美。

4.负分数和有理数

由实际意义存储3/4与取出3/4合起来为0,用式子表示为:

3/4+(-3/4)=0,我们称-3/4为3/4的相反数,3/4为-3/4的相反数。

同样运出25/3与运进25/3正好抵消,用式子表示为:(-25/3)+25/3=0,称-25/3为25/3的相反数,25/3为-25/3的相反数。

一般地,任一个正分数的相反数为一个负分数,任一个负分数的相反数为一个正分数。

一个正分数对应一个相反数,这个相反数记法:将原正分数前加上一个-号。我们称这个相反数为负分数。

负分数就是一个正分数前加上一个“-”号,这是一种规定的记法。

由实际意义,规定负分数小于0,当然小于正分数。

同整数绝对值定义一样,规定:正分数的绝对值为它本身,负分数的绝对值为其相反数。

由于欠钱的越多表明富有程度越低,自己的财富越少,所以规定两个负分数,绝对值大的反而小,绝对值小的反而大。

如0>(-2/3)>(-7/6)(-59/23)。

也即有:自然数和正分数加在一起后,取其中两数,则大数的相反数小,其中小数的相反数大。

这样就把整数和分数合起来后,其中任两个数的大小搞清楚了。

一般地,我们常将最简分数不是整数的分数叫分数,分数包括正分数,负分数,最简分数为整数的数为仍叫整数。

所有的正分数,负分数统称为分数,所有的整数与分数统称为有理数。

正整数和正分数统称为正有理数,负整数和负分数统称为负有理数。

可见:有理数由正有理数,零,负有理数组成。有理数也由整数和分数组成。

所有的有理数组成的一个集合,称为有理数集,常用字母Q表示。

如:3∈Q,3/7∈Q,100/3∈Q,0∈Q,

-3∈Q,-(3/7)∈Q,-(100/3)∈Q。

但3∈Z,-3∈Z,0∈Z成立,

3/7∈Z,100/3∈Z,-(3/7)∈Z,-(100/3)∈Z是不成立的。

5.有理数的加减乘除四则运算

由于在整数和正分数的基础上,又引进了一类新数:负分数,才得到有理数,现问有理数运算会出现哪些不同,又有哪些相同呢?

(1)、关于加法:

两个负分数怎么加?多个呢?

两个负有理数怎么加?多个呢?

一个大于等于0的有理数与一个负有理数怎么加?多个呢?

两个有理数怎么加?多个呢?加法有什么性质和运算律?

(2)、关于减法:

两个有理数怎么减?

减法有什么性质和运算律?

(3)、关于乘法:

两个负分数怎么乘?多个呢?

两个负有理数怎么乘?多个呢?

一个大于等于0的有理数与一个负有理数怎么乘?多个呢?

两个有理数怎么乘?多个呢?乘法有什么性质和运算律?

(4)、关于除法:

两个有理数怎么除?

除法有什么性质和运算律?

弄清楚了这些,所有的有理数的知识系统就建构完成了。

至此为止,我们会发现:

①有理数的加减乘除四则运算都是封闭的。这是至今一个最完备、完美的一个数系。

②有理数是可以比较大小的。

③有理数都是可以进行加减乘除四则运算的。

④所有的有理数都是由1进行加减乘除运算而得到,即1生有理数。显示1的重要性。

1-1=0。a∈Q时a-a=0,0+a=a+0=a,a-0=a,0-a=-a,0×a=a×0=0。0不能作除数。0即不是正有理数,又不是负有理数。

这一系列性质,表明0的特殊性。

⑤有理数还有一个重要的新性质:有理数是至密的。

即任两个有理数之间仍有有理数,且有无数个新的有理数。

如:1与2之间有无数多的有理数:1/2,1/3,1/4,1/5,…,1/10000,…。

一般地:任取a∈Q,b∈Q,a<b,则:a与b之间有无数多的有理数:(b-a)/2,(b-a)/3,(b-a)/4,(b-a)/5,…,(b-a)/10000,…。

但但整数集系统中不具备这个性质,即两个整数存在一个最小距离(两数差的绝对值称为这两数之间的距离),显然为1。

即:a∈Z,b∈Z时,la-b丨≥1。

我们称整数是孤立的。

但:a∈Q,b∈Q时,找不到一个正有理数m,使la-b丨≥m恒成立。

所以有理数不是孤立的,而是至密的。

那现在我们要问?由于有理数具有至密性,即两个有理数之间的距离没有最小值,可以永远小下去。这说明有理数不是孤立的吗?哪有理数之间是不是就没有其它的数?还是有其它的数将它们隔开呢?

你能猜出有关正确结论吗?

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